某花店每天以每枝5元的價格

1. 2012全國新課標卷文科數學A卷答案TXT格式的

tupainban2012年高考文科數學試題解析（全國課標）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，則

（A）AB（B）BA（C）A=B（D）A∩B=

【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法與集合間關系，是簡單題.

【解析】A=（－1,2），故BA，故選B.

（2）復數z＝的共軛復數是

（A）（B）（C）（D）

【命題意圖】本題主要考查復數的除法運算與共軛復數的概念，是簡單題.

【解析】∵==，∴的共軛復數為，故選D.

（3）在一組樣本數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=12x+1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為

（A）－1（B）0（C）12（D）1

【命題意圖】本題主要考查樣本的相關系數，是簡單題.

【解析】有題設知，這組樣本數據完全正相關，故其相關系數為1，故選D.

（4）設,是橢圓：=1（＞＞0）的左、右焦點，為直線上一點，△是底角為的等腰三角形，則的離心率為

....

【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質及數形結合思想，是簡單題.

【解析】∵△是底角為的等腰三角形，

∴，，∴=，∴，∴=，故選C.

（5）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內部，則的取值范圍是

（A）(1－3，2)（B）(0，2)

（C）(3－1，2)（D）(0，1+3)

【命題意圖】本題主要考查簡單線性規劃解法，是簡單題.

【解析】有題設知C(1+,2)，作出直線：，平移直線，有圖像知，直線過B點時，=2，過C時，=，∴取值范圍為(1－3，2)，故選A.

（6）如果執行右邊的程序框圖，輸入正整數(≥2)和實數，，…，，輸出，，則

.+為，，…，的和

.為，，…，的算術平均數

.和分別為，，…，中的最大數和最小數

.和分別為，，…，中的最小數和最大數

【命題意圖】本題主要考查框圖表示演算法的意義，是簡單題.

【解析】由框圖知其表示的演算法是找N個數中的最大值和最小值，和分別為，，…，中的最大數和最小數，故選C.

21世紀教育網（7）如圖，網格上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的體積為

.6.9.12.18

【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體的三視圖及體積計算，是簡單題.

【解析】由三視圖知，其對應幾何體為三棱錐，其底面為一邊長為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為=9，故選B.

(8)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為2，則此球的體積為

（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π

【命題意圖】

【解析】

（9）已知>0，，直線=和=是函數圖像的兩條相鄰的對稱軸，則=

（A）π4（B）π3（C）π2（D）3π4

【命題意圖】本題主要考查三角函數的圖像與性質，是中檔題.

【解析】由題設知，=，∴=1，∴=（），

∴=（），∵，∴=，故選A.

（10）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的准線交於、兩點，=，則的實軸長為

...4.8

【命題意圖】本題主要考查拋物線的准線、直線與雙曲線的位置關系，是簡單題.

【解析】由題設知拋物線的准線為：，設等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，∵=，∴=，解得=2，

∴的實軸長為4，故選C.

(11)當0<≤12時，，則a的取值范圍是

（A）(0，22)（B）(22，1)（C）(1，2)（D）(2，2)

【命題意圖】本題主要考查指數函數與對數函數的圖像與性質及數形結合思想，是中檔題.

【解析】由指數函數與對數函數的圖像知，解得，故選A.

（12）數列{}滿足，則{}的前60項和為

（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830

【命題意圖】本題主要考查靈活運用數列知識求數列問題能力，是難題.

【解析】【法1】有題設知

=1，①=3②=5③=7，=9，

=11，=13，=15，=17，=19，，

……

∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，

∴，，，…，是各項均為2的常數列，，，，…是首項為8，公差為16的等差數列，

∴{}的前60項和為=1830.

【法2】可證明：

二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。

(13)曲線在點（1,1）處的切線方程為________

【命題意圖】本題主要考查導數的幾何意義與直線方程，是簡單題.

【解析】∵，∴切線斜率為4，則切線方程為：.

(14)等比數列{}的前n項和為Sn，若S3+3S2=0，則公比=_______

【命題意圖】本題主要考查等比數列n項和公式，是簡單題.

【解析】當=1時，=，=，由S3+3S2=0得，=0，∴=0與{}是等比數列矛盾，故≠1，由S3+3S2=0得，，解得=－2.

(15)已知向量，夾角為，且||=1，||=，則||=.

【命題意圖】.本題主要考查平面向量的數量積及其運演算法則，是簡單題.

【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）

(16)設函數=(x+1)2+sinxx2+1的最大值為M，最小值為m，則M+m=____

【命題意圖】本題主要考查利用函數奇偶性、最值及轉換與化歸思想，是難題.

【解析】=，

設==，則是奇函數，

∵最大值為M，最小值為，∴的最大值為M-1，最小值為－1，

∴，=2.

三、 解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分12分）已知，，分別為三個內角,,的對邊，.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.

【命題意圖】本題主要考查正餘弦定理應用，是簡單題.

【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得

由於，所以，

又，故.

(Ⅱ)的面積==,故=4，

而故=8，解得=2.

18.（本小題滿分12分）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售。如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理。

（Ⅰ）若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關於當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數解析式。

（Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量n 14 15 16 17 18 19 20

頻數 10 20 16 16 15 13 10

(i)假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花，求這100天的日利潤（單位：元）的平均數；

(ii)若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤不少於75元的概率.

【命題意圖】本題主要考查給出樣本頻數分別表求樣本的均值、將頻率做概率求互斥事件的和概率，是簡單題.

【解析】（Ⅰ）當日需求量時，利潤=85；

當日需求量時，利潤，

∴關於的解析式為；

（Ⅱ）(i)這100天中有10天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天的日利潤為75元，54天的日利潤為85元，所以這100天的平均利潤為

=76.4；

(ii)利潤不低於75元當且僅當日需求不少於16枝，故當天的利潤不少於75元的概率為

（19）（本小題滿分12分）如圖，三稜柱中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中點。

(I)證明：平面⊥平面

（Ⅱ）平面分此稜柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質及幾何體的體積計算，考查空間想像能力、邏輯推理能力，是簡單題.

【解析】（Ⅰ）由題設知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,又∵面，∴,

由題設知,∴=,即,

又∵,∴⊥面,∵面，

∴面⊥面；

（Ⅱ）設棱錐的體積為，=1，由題意得，==，

由三稜柱的體積=1，

∴=1:1，∴平面分此稜柱為兩部分體積之比為1:1.

（20）（本小題滿分12分）設拋物線：（＞0）的焦點為，准線為，為上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交於,兩點.

(Ⅰ)若,的面積為，求的值及圓的方程；

(Ⅱ)若，，三點在同一條直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到，距離的比值.

【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識，考查數形結合思想和運算求解能力.

【解析】設准線於軸的焦點為E，圓F的半徑為，

則|FE|=，=，E是BD的中點，

(Ⅰ)∵，∴=，|BD|=，

設A(，)，根據拋物線定義得，|FA|=，

∵的面積為，∴===，解得=2，

∴F(0,1),FA|=，∴圓F的方程為：；

(Ⅱ)【解析1】∵，，三點在同一條直線上,∴是圓的直徑，,

由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－，

∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=，

設直線的方程為：，代入得，，

∵與只有一個公共點，∴=，∴，

∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=，

∴坐標原點到，距離的比值為3.

【解析2】由對稱性設，則

點關於點對稱得：

得：，直線

切點

直線

坐標原點到距離的比值為。

（21）（本小題滿分12分）設函數f(x)=ex－ax－2

(Ⅰ)求f(x)的單調區間

(Ⅱ)若a=1，k為整數，且當x>0時，(x－k)f´(x)+x+1>0，求k的最大值

請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號.

22.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何選講

如圖，D，E分別是△ABC邊AB,AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓與F,G兩點，若CF∥AB，證明：

(Ⅰ)CD=BC;

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.

【命題意圖】本題主要考查線線平行判定、三角形相似的判定等基礎知識，是簡單題.

【解析】(Ⅰ)∵D，E分別為AB,AC的中點，∴DE∥BC，

∵CF∥AB，∴BCFD是平行四邊形，

∴CF=BD=AD，連結AF，∴ADCF是平行四邊形，

∴CD=AF，

∵CF∥AB,∴BC=AF,∴CD=BC；

(Ⅱ)∵FG∥BC，∴GB=CF，

由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,

∵∠DGB=∠EFC=∠DBC,∴△BCD∽△GBD.

23.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程是（是參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線:的極坐標方程是=2，正方形ABCD的頂點都在上，且A,B,C,D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2，）.

(Ⅰ)求點A,B,C,D的直角坐標；

(Ⅱ)設P為上任意一點，求的取值范圍.

【命題意圖】本題考查了參數方程與極坐標，是容易題型.

【解析】(Ⅰ)由已知可得，，

，，

即A(1，)，B（－，1），C（―1，―），D（，－1），

(Ⅱ)設，令=，

則==，

∵，∴的取值范圍是[32,52].

24.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講

已知函數=.

(Ⅰ)當時，求不等式≥3的解集；

(Ⅱ)若≤的解集包含，求的取值范圍.

【命題意圖】本題主要考查含絕對值不等式的解法，是簡單題.

【解析】(Ⅰ)當時，=，

當≤2時，由≥3得，解得≤1；

當2＜＜3時，≥3，無解；

當≥3時，由≥3得≥3，解得≥8，

∴≥3的解集為{|≤1或≥8}；

(Ⅱ)≤，

當∈[1,2]時，==2，

∴，有條件得且，即，

故滿足條件的的取值范圍為[－3,0].

2. 某花店每天以每枝10元的價格從農場購進若干支玫瑰花，並開始以每枝20元的價格出售，已知該花店的營業時間

（Ⅰ）當n=14時，X=14×10+（16-14）×（-5）=130元，專…（屬1分）
當n=15時，X=15×10+（16-15）×（-5）=145元，…（2分）
當n=16或17時，X=160元，…（3分）
所以X的分布列為

3. 某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的

y=10n-5*17=10n-85
100天的利潤 （10*14-85）*10+（10*15-85）*20+（10*16-85）*16+
（10*17-85）*（16+15+13+10）所以100天的日利潤 76.4元

y≥75,所以n≥16
概率（16+16+15+13+10）\100=0.7

4. 某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，

注意分布列的性質 是所有事件的概率和為1，x=60 的概率為0.1 x=70的概率版為0.2 所以x=80的概率為1-P(x=60）-P(x=70）=0.7
或者這樣想獲利權80元是因為16枝玫瑰花都賣了，你看上表16支賣完的天數為16+16+15+13+10=70，故x=80的概率為70/100=0.7

5. 某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的

解：（1）當日需求量n≥17時，利潤y=85； 當日需求量n＜17時，利潤y=10n-85； ∴利潤y關於當天需求量n的函數解析式 元； （ii）當天的利潤不少於75元，當且僅當日需求量不少於16枝，故當天的利潤不少於75元的概率為P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7。

6. 2012高考理科數學(全國卷)

2012年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置上。
2.回答第I卷時，選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動，用橡皮擦乾凈後，再選塗其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
4.考試結束後，將本試卷和答題卡一並交回。
第I卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。
1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，則B中所含元素的個數為
A.3 B.6 C.8 D.10
2.將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組有1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有
A.12種 B.10種 C.9種 D.8種
(3)下面是關於復數z= 的四個命題
P1： =2 p2: =2i
P3:z的共軛復數為1+I P4 ：z的虛部為-1
其中真命題為
A P2 ,P3 B P1 ,P2 C P2，P4 D P3 P4

(4)設F1，F2是橢圓E： + =1 (a＞b＞0)的左、右焦點 ，P為直線x= 上的一點，
△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為
A B C D

（5）已知{an}為等比數列， a4+a1=2 a5a6＝-8 則a1+a10 =
A.7 B.5 C-5 D.-7
(6)如果執行右邊的程序圖，輸入正整數N（N≥2）和實數a1.a2,…an，輸入A,B,則

(A)A+B為a1a2,…，an的和
（B） 為a1a2.…，an的算式平均數
（C）A和B分別是a1a2,…an中最大的數和最小的數
（D）A和B分別是a1a2,…an中最小的數和最大的數
（7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為

（A）6 (B)9 (C)12 (D)18
（8）等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y²=16x的准線交於A，B兩點， ，則C的實軸長為
（A） （B） （C）4（D）8
(9)已知w＞0，函數 在 單調遞減，則w的取值范圍是
（A） （B） （C） （D）（0,2]
(10)已知函數 ，則y=f（x）的圖像大致為

（11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為
（A） （B） （C） （D）
（12）設點P在曲線 上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|的最小值為
（A）1-ln2（B） （C）1+ln2（D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22題~第24題為選考題，考試依據要求作答。
二。填空題：本大題共4小題，每小題5分。
（13）已知向量a，b夾角為45°，且|a|=1,|2a-b|= ，則|b|=____________.
（14）設x，y滿足約束條件 則z=x-2y的取值范圍為__________.
（15），某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作。設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態分布N（1000,502），且各個元件能否正常工作互相獨立，那麼該部件的使用壽命超過1000小時的概率為_________________.

(16)數列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項和為________。
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊， 。
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面積為 ，求b，c。
（18）（本小題滿分12分）
某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售。如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。
（Ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關於當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數解析式。
（Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。
（ⅰ）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列、數學期望及方差；
（ⅱ）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由。
（19）（本小題滿分12分）
如圖，直三稜柱ABC-A1B1C1中，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD。

（1） 證明：DC1⊥BC；
（2） 求二面角A1-BD-C1的大小。
（20）（本小題滿分12分）
設拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，准線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l於B，D兩點。
（1） 若∠BFD=90°，△ABD的面積為 ，求p的值及圓F的方程；
（2） 若A，B,F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C之有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值。
（21）（本小題滿分12分）
已知函數f（x）滿足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+ x2.
（1） 求f（x）的解析式及單調區間；
（2） 若f（x）≥ x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。
請考生在第22、23、24題中任選一道作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時請寫清題號。
（22）（本小題滿分10分）選修4—1；幾何證明選講
如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓於F，G兩點，若CF∥AB，證明：

（Ⅰ）CD=BC；
（Ⅱ）△BCD △GBD。
（23）（本小題滿分10分）選修4—4；坐標系與參數方程
已知曲線C1的參數方程式 （ 為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程式 ＝2.正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為 。
（Ⅰ）求點A，B，C，D的直角坐標；
（Ⅱ）設P為C1上任意一點，求 的取值范圍。
（24）（本小題滿分10分）選修4—5；不等式選講
已知函數
（Ⅰ）當a=-3時，求不等式(x) 3的解集；
（2）若f（x）≤ 的解集包含[1,2]，求a的取值范圍。

7. 某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下

8. 12陝西高考答案數學

希望能幫到你，
絕密*啟用前年普通高等學校招生全國統一考試理科數學

注息事項:
1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置上。
2.問答第Ⅰ卷時。選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動.用橡皮擦乾凈後，再選塗其它答案標號。寫在本試卷上無效.
3.回答第Ⅱ卷時。將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效·
4.考試結束後.將本試卷和答且卡一並交回。
第一卷
一． 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）已知集合 ；,則 中所含元素
的個數為（ ）

【解析】選
， ， ， 共10個
（2）將 名教師， 名學生分成 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，
每個小組由 名教師和 名學生組成，不同的安排方案共有（ ）
種 種 種 種
【解析】選
甲地由 名教師和 名學生： 種
（3）下面是關於復數 的四個命題：其中的真命題為（ ）
的共軛復數為 的虛部為

【解析】選

， ， 的共軛復數為 ， 的虛部為

（4）設 是橢圓 的左、右焦點， 為直線 上一點，
是底角為 的等腰三角形，則 的離心率為（ ）

【解析】選
是底角為 的等腰三角形
（5）已知 為等比數列， ， ，則 （ ）

【解析】選
， 或

（6）如果執行右邊的程序框圖，輸入正整數 和
實數 ，輸出 ，則（ ）
為 的和
為 的算術平均數
和 分別是 中最大的數和最小的數
和 分別是 中最小的數和最大的數
【解析】選

（7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為 ，粗線畫出的
是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）

【解析】選
該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為
此幾何體的體積為

（8）等軸雙曲線 的中心在原點，焦點在 軸上， 與拋物線 的准線交於
兩點， ；則 的實軸長為（ ）

【解析】選
設 交 的准線 於
得：

（9）已知 ，函數 在 上單調遞減。則 的取值范圍是（ ）

【解析】選
不合題意 排除
合題意 排除
另： ，
得：

（10）已知函數 ；則 的圖像大致為（ ）

【解析】選

得： 或 均有 排除
（11）已知三棱錐 的所有頂點都在球 的求面上， 是邊長為 的正三角形，
為球 的直徑，且 ；則此棱錐的體積為（ ）

【解析】選
的外接圓的半徑 ，點 到面 的距離
為球 的直徑 點 到面 的距離為
此棱錐的體積為
另： 排除
（12）設點 在曲線 上，點 在曲線 上，則 最小值為（ ）

【解析】選
函數 與函數 互為反函數，圖象關於 對稱
函數 上的點 到直線 的距離為
設函數
由圖象關於 對稱得： 最小值為

第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-第24題為選考題，考生根據要求做答。
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。
（13）已知向量 夾角為 ，且 ；則
【解析】

(14) 設 滿足約束條件： ；則 的取值范圍為
【解析】 的取值范圍為
約束條件對應四邊形 邊際及內的區域：
則

（15）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從
正態分布 ，且各個元件能否正常相互獨立，那麼該部件的使用壽命
超過1000小時的概率為

【解析】使用壽命超過1000小時的概率為
三個電子元件的使用壽命均服從正態分布
得：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為
超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率
那麼該部件的使用壽命超過1000小時的概率為
（16）數列 滿足 ，則 的前 項和為
【解析】 的前 項和為
可證明：

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
已知 分別為 三個內角 的對邊，
（1）求 （2）若 ， 的面積為 ；求 。
【解析】（1）由正弦定理得：

（2）

解得： （l fx lby）

18.（本小題滿分12分）
某花店每天以每枝 元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝 元的價格出售，
如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。
（1）若花店一天購進 枝玫瑰花，求當天的利潤 (單位：元)關於當天需求量
（單位：枝， ）的函數解析式。
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。
（i）若花店一天購進 枝玫瑰花， 表示當天的利潤（單位：元），求 的分布列，
數學期望及方差；
（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？
請說明理由。
【解析】（1）當 時，
當 時，
得：
（2）（i） 可取 ， ，

的分布列為

（ii）購進17枝時，當天的利潤為

得：應購進17枝

（19）（本小題滿分12分）
如圖，直三稜柱 中， ，
是棱 的中點，
（1）證明：
（2）求二面角 的大小。
【解析】（1）在 中，
得：
同理：
得： 面
（2） 面
取 的中點 ，過點 作 於點 ，連接
，面 面 面
得：點 與點 重合
且 是二面角 的平面角
設 ，則 ，
既二面角 的大小為
（20）（本小題滿分12分）
設拋物線 的焦點為 ，准線為 ， ，已知以 為圓心，
為半徑的圓 交 於 兩點；
（1）若 ， 的面積為 ；求 的值及圓 的方程；
（2）若 三點在同一直線 上，直線 與 平行，且 與 只有一個公共點，
求坐標原點到 距離的比值。

【解析】（1）由對稱性知： 是等腰直角 ，斜邊
點 到准線 的距離

圓 的方程為
（2）由對稱性設 ，則
點 關於點 對稱得：
得： ，直線
切點
直線
坐標原點到 距離的比值為 。（lfx lby）

（21）（本小題滿分12分）
已知函數 滿足滿足 ；
（1）求 的解析式及單調區間；
（2）若 ，求 的最大值。
【解析】（1）
令 得：

得：

在 上單調遞增

得： 的解析式為
且單調遞增區間為 ，單調遞減區間為
（2） 得
①當 時， 在 上單調遞增
時， 與 矛盾
②當 時，
得：當 時，

令 ；則

當 時，
當 時， 的最大值為
請考生在第22,23,24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，
做答時請寫清題號。

（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖， 分別為 邊 的中點，直線 交
的外接圓於 兩點，若 ，證明：
（1） ；
（2）
【解析】（1） ，

（2）

（23）本小題滿分10分)選修4—4；坐標系與參數方程
已知曲線 的參數方程是 ，以坐標原點為極點， 軸的正半軸
為極軸建立坐標系，曲線 的坐標系方程是 ，正方形 的頂點都在 上，
且 依逆時針次序排列，點 的極坐標為
（1）求點 的直角坐標；
（2）設 為 上任意一點，求 的取值范圍。
【解析】（1）點 的極坐標為
點 的直角坐標為
（2）設 ；則

（lfxlby）

（24）（本小題滿分10分）選修 ：不等式選講
已知函數
（1）當 時，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值范圍。
【解析】（1）當 時，
或 或
或
（2）原命題 在 上恆成立
在 上恆成立

在 上恆成立

2012年高考文科數學試題解析（全國課標）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，則
（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=Æ
【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法與集合間關系，是簡單題.
【解析】A=（－1,2），故BA，故選B.
（2）復數z＝ 的共軛復數是
（A） （B） （C） （D）
【命題意圖】本題主要考查復數的除法運算與共軛復數的概念，是簡單題.
【解析】∵ = = ，∴ 的共軛復數為 ，故選D.
（3）在一組樣本數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線 y=x+1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
【命題意圖】本題主要考查樣本的相關系數，是簡單題.
【解析】有題設知，這組樣本數據完全正相關，故其相關系數為1，故選D.
（4）設 , 是橢圓 ： =1（ ＞ ＞0）的左、右焦點， 為直線 上一點，△ 是底角為 的等腰三角形，則 的離心率為
. . . .
【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質及數形結合思想，是簡單題.
【解析】∵△ 是底角為 的等腰三角形，
∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故選C.
（5）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內部，則 的取值范圍是
（A）(1－，2) （B）(0，2)
（C）(－1，2) （D）(0，1+)
【命題意圖】本題主要考查簡單線性規劃解法，是簡單題.
【解析】有題設知C(1+ ,2)，作出直線 ： ，平移直線 ，有圖像知，直線 過B點時， =2，過C時， = ，∴ 取值范圍為(1－，2)，故選A.
（6）如果執行右邊的程序框圖，輸入正整數 ( ≥2)和實數 ， ，…， ，輸出 ， ，則
. + 為 ， ，…， 的和
. 為 ， ，…， 的算術平均數
. 和 分別為 ， ，…， 中的最大數和最小數
. 和 分別為 ， ，…， 中的最小數和最大數
【命題意圖】本題主要考查框圖表示演算法的意義，是簡單題.
【解析】由框圖知其表示的演算法是找N個數中的最大值和最小值， 和 分別為 ， ，…， 中的最大數和最小數，故選C.
21世紀教育網（7）如圖，網格上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的體積為
.6 .9 .12 .18
【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體的三視圖及體積計算，是簡單題.
【解析】由三視圖知，其對應幾何體為三棱錐，其底面為一邊長為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為 =9，故選B.
(8)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
【命題意圖】
【解析】
（9）已知 >0， ，直線 = 和 = 是函數 圖像的兩條相鄰的對稱軸，則 =
（A） （B） （C） （D）
【命題意圖】本題主要考查三角函數的圖像與性質，是中檔題.
【解析】由題設知， = ，∴ =1，∴ = （ ），
∴ = （ ），∵ ，∴ = ，故選A.
（10）等軸雙曲線 的中心在原點，焦點在 軸上， 與拋物線 的准線交於 、 兩點， = ，則 的實軸長為
. . .4 .8
【命題意圖】本題主要考查拋物線的准線、直線與雙曲線的位置關系，是簡單題.
【解析】由題設知拋物線的准線為： ，設等軸雙曲線方程為： ，將 代入等軸雙曲線方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，
∴ 的實軸長為4，故選C.
(11)當0< ≤時， ，則a的 取值范圍是
（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
【命題意圖】本題主要考查指數函數與對數函數的圖像與性質及數形結合思想，是中檔題.
【解析】由指數函數與對數函數的圖像知 ，解得 ，故選A.
（12）數列{ }滿足 ，則{ }的前60項和為
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【命題意圖】本題主要考查靈活運用數列知識求數列問題能力，是難題.
【解析】【法1】有題設知
=1，① =3 ② =5 ③ =7， =9，
=11， =13， =15， =17， =19， ，
……
∴②－①得 =2，③+②得 =8，同理可得 =2， =24， =2， =40，…，
∴ ， ， ，…，是各項均為2的常數列， ， ， ，…是首項為8，公差為16的等差數列，
∴{ }的前60項和為 =1830.
【法2】可證明：

二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。
(13)曲線 在點（1,1）處的切線方程為________
【命題意圖】本題主要考查導數的幾何意義與直線方程，是簡單題.
【解析】∵ ，∴切線斜率為4，則切線方程為： .
(14)等比數列{ }的前n項和為Sn，若S3+3S2=0， 則公比 =_______
【命題意圖】本題主要考查等比數列n項和公式，是簡單題.
【解析】當 =1時， = ， = ，由S3+3S2=0得 ， =0，∴ =0與{ }是等比數列矛盾，故 ≠1，由S3+3S2=0得 ， ，解得 =－2.
(15) 已知向量 ， 夾角為 ，且| |=1，| |= ，則| |= .
【命題意圖】.本題主要考查平面向量的數量積及其運演算法則，是簡單題.
【解析】∵| |= ，平方得 ，即 ，解得| |= 或 （舍）
(16)設函數 =的最大值為M，最小值為m，則M+m=____
【命題意圖】本題主要考查利用函數奇偶性、最值及轉換與化歸思想，是難題.
【解析】 = ，
設 = = ，則 是奇函數，
∵ 最大值為M，最小值為 ，∴ 的最大值為M-1，最小值為 －1，
∴ ， =2.
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）已知 ， ， 分別為 三個內角 , , 的對邊， .
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 =2， 的面積為 ，求 ， .
【命題意圖】本題主要考查正餘弦定理應用，是簡單題.
【解析】(Ⅰ)由 及正弦定理得

由於 ，所以 ，
又 ，故 .
(Ⅱ) 的面積 = = ,故 =4，
而 故 =8，解得 =2.

18.（本小題滿分12分）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售。如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理。
（Ⅰ）若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關於當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數解析式。
（Ⅱ）花店記錄了100天 玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數
10
20
16
16
15
13
10

(i)假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花，求這100天 的日利潤（單位：元）的平均數；
(ii)若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤不少於75元的概率.
【命題意圖】本題主要考查給出樣本頻數分別表求樣本的均值、將頻率做概率求互斥事件的和概率，是簡單題.
【解析】（Ⅰ）當日需求量 時，利潤 =85；
當日需求量 時，利潤 ，
∴ 關於 的解析式為 ；
（Ⅱ）(i)這100天中有10天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天的日利潤為75元，54天的日利潤為85元，所以這100天的平均利潤為
=76.4；
(ii)利潤不低於75元當且僅當日需求不少於16枝，故當天的利潤不少於75元的概率為

（19）（本小題滿分12分）如圖，三稜柱 中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點。
(I) 證明：平面 ⊥平面
（Ⅱ）平面 分此稜柱為兩部分，求這兩部分體積的比.
【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質及幾何體的體積計算，考查空間想像能力、邏輯推理能力，是簡單題.
【解析】（Ⅰ）由題設知BC⊥ ,BC⊥AC， ,∴ 面 , 又∵ 面 ，∴ ,
由題設知 ,∴ = ,即 ,
又∵ , ∴ ⊥面 , ∵ 面 ，
∴面 ⊥面 ；
（Ⅱ）設棱錐 的體積為 ， =1，由題意得， = = ，
由三稜柱 的體積 =1，
∴ =1:1， ∴平面 分此稜柱為兩部分體積之比為1:1.
（20）（本小題滿分12分）設拋物線 ： （ ＞0）的焦點為 ，准線為 ， 為 上一點，已知以 為圓心， 為半徑的圓 交 於 , 兩點.
(Ⅰ)若 , 的面積為 ，求 的值及圓 的方程；
(Ⅱ)若 ， ， 三點在同一條直線 上，直線 與 平行，且 與 只有一個公共點，求坐標原點到 ， 距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識，考查數形結合思想和運算求解能力.
【解析】設准線 於 軸的焦點為E，圓F的半徑為 ，
則|FE|= ， = ，E是BD的中點，
(Ⅰ) ∵ ，∴ = ，|BD|= ，
設A( ， )，根據拋物線定義得，|FA|= ，
∵ 的面積為 ，∴ = = = ，解得 =2，
∴F(0,1), FA|= ， ∴圓F的方程為： ；
(Ⅱ) 【解析1】∵ ， ， 三點在同一條直線 上, ∴ 是圓 的直徑， ,
由拋物線定義知 ，∴ ，∴ 的斜率為 或－ ，
∴直線 的方程為： ，∴原點到直線 的距離 = ，
設直線 的方程為： ，代入 得， ，
∵ 與 只有一個公共點， ∴ = ，∴ ，
∴直線 的方程為： ，∴原點到直線 的距離 = ，
∴坐標原點到 ， 距離的比值為3.
【解析2】由對稱性設 ，則
點 關於點 對稱得：
得： ，直線
切點
直線
坐標原點到 距離的比值為 。
（21）（本小題滿分12分）設函數f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的單調區間
(Ⅱ)若a=1，k為整數，且當x>0時，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值

請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號.
22. （本小題滿分10分）選修4－1：幾何選講
如圖，D，E分別是△ABC邊AB,AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓與F,G兩點，若CF∥AB，證明：
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
【命題意圖】本題主要考查線線平行判定、三角形相似的判定等基礎知識，是簡單題.
【解析】(Ⅰ) ∵D，E分別為AB,AC的中點，∴DE∥BC，
∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四邊形，
∴CF=BD=AD， 連結AF，∴ADCF是平行四邊形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；
(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，
由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.

23. （本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程
已知曲線 的參數方程是 （ 是參數），以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 :的極坐標方程是 =2，正方形ABCD的頂點都在 上，且A,B,C,D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2， ）.
(Ⅰ)求點A,B,C,D的直角坐標；
(Ⅱ)設P為 上任意一點，求 的取值范圍.
【命題意圖】本題考查了參數方程與極坐標，是容易題型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得 ， ，
， ，
即A(1， )，B（－ ，1），C（―1，― ），D（ ，－1），
(Ⅱ)設 ，令 = ，
則 = = ，
∵ ，∴ 的取值范圍是[32,52].

24.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
已知函數 = .
(Ⅰ)當 時，求不等式 ≥3的解集；
(Ⅱ) 若 ≤ 的解集包含 ，求 的取值范圍.
【命題意圖】本題主要考查含絕對值不等式的解法，是簡單題.
【解析】(Ⅰ)當 時， = ，
當 ≤2時，由 ≥3得 ，解得 ≤1；
當2＜ ＜3時， ≥3，無解；
當 ≥3時，由 ≥3得 ≥3，解得 ≥8，
∴ ≥3的解集為{ | ≤1或 ≥8}；
(Ⅱ) ≤ ，
當 ∈[1,2]時， = =2，
∴ ，有條件得 且 ，即 ，
故滿足條件的 的取值范圍為[－3,0].