丁香婷婷琪琪
❶ 狠狠狠狠狠狠狠狠難........高手幫忙解答一下這三個不等式，謝了
（1）
設x,y,z為正實數。求證
x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+zx)>=1
證明 去分母得:
x^2*(y^2+z^2+yz)*(z^2+x^2+zx)+y^2*(z^2+x^2+zx)*(x^2+y^2+xy)+z^2*(x^2+y^2+xy)(y^2+z^2+yz)>=(y^2+z^2+yz)*(z^2+x^2+zx)*(x^2+y^2+xy)
展開化簡為:
x^4*y^2+y^4*z^2+z^4*x^2>=xyz(zx^2+xy^2+yz^2)
<==> y^2*(x^2-yz)^2+x^2*(z^2-xy)^2+z^2*(y^2-zx)^2>=0
顯然成立。
（2）
∑y(1-y^2)=∑y-∑y^3
≤1-1/9=8/9
x^4/[y(1-y^2)]+9y(1-y^2)/64≥3x^2/4（均值不等式）
∑{x^4/[y(1-y^2)]+9y(1-y^2)/64}≥∑3x^2/4
≥1/4
∑x^4/[y(1-y^2)]≥1/4-9∑y(1-y^2)/64
=1/4-(9/64)(8/9)
=1/4-1/8=1/8
不等式獲證！
（3）
8x^8*(1-x^8)^8≤(8/9)^9,於是x(1-x^8)≤8^(8/9)/9,
從而x^3/(1-x^8)=x^4/x(1-x^8)≥9x^4/8^(8/9)
同理有y^3/(1-y^8)≥9y^4/8^(8/9)
z^3/(1-z^8)≥9z^4/8^(8/9)
三式相加即可
利用推廣的柯西不等式有
(16/x^3+81/8y^3+1/27z^3)*(x+2y+3z)^3≥(2+3+1)^4,
從而16/x^3+81/8y^3+1/27z^3≥1296,
當x/(16/x^3)=2y/(81/8y^3)=3z/(1/27z^3)取等號
怎麼只有5分？！(ˇ^ˇ〉